9. Криволинейный интеграл I-го рода. Определение, свойства и вычисление.

Пусть вдоль некоторой кривой Картинка с концами A и B определена функция Картинка.


Произведем дробление прямой АВ на N частей точками Картинка произвольным образом, так чтобы Картинка , а точка Картинка совпала с В ( Картинка и точка Картинка перемещалась бы от точки А к точки В по мере возрастания Картинка.


Картинка


В каждом из участков Картинка произвольным образом выберем точку Картинка. Картинка


Составим интегральную сумму Картинка


Картинка
Картинка – длина Картинка


Обозначим через Картинка наибольшую из длин Картинка и назовем рангом дробления.


Определение. Если независимо от способа дробления криво АВ на N частей точками Картинка и не зависимо от способа выбора точки Картинка существует и конечен предел интегральной суммы при Картинка:


Картинка


То такой предел называется криволинейным интегралом первого рода и обозначается:


Картинка


Если говорить о свойствах криволинейного интеграла первого рода, то эти свойства совпадают со свойствами определенного интеграла (двойного) (см. первый билет).

Следует помнить,что криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления интеграла (это следует из определения):


Картинка


Вычисление

Пусть вдоль гладкой кривой с концами А и В опред. инт. функция Картинка


Тогда криволинейный интеграл:

Картинка


где a и b – х координаты конечных точек АВ, причем Картинка


Действительно, составим интегральную сумму Картинка для криволинейного интеграла первого рода:

Картинка
Картинка – длина учстка кривой Картинка

Картинка


К последнему интегралу применим теорему о среднем:

Картинка Картинкатам фигня со звездочкой


Картинка


Ясно, что последняя сумма не является интегральной, т.к. Картинка и Картинка опять же вообще говоря не совпадают, Картинка – мы распоряжаемся сами, а точку Картинка нам даст теорема о среднем.


Т.к точкой Картинка мы распоряжаемся сами, то можем считать, что точка Картинка совпадает с точкой Картинка


Сумма Картинка (интегральная сумма) принимает вид:

Картинка


Переходя к пределу будем иметь:

Картинка


Если АВ задана параметрически: Картинка

Картинка Картинка система


то криволинейный интеграл по АВ:

Картинка


Картинка, Картинка и Картинка – значения параметра t концевых точек кривой


Если кривая АВ – пространственная и имеет параметрические задания:


Картинка


Картинка

Картинка Картинкасистема

и вдоль этой кривой определена интегральная функция Картинка то имеет место равенство:


Картинка


Картинка и Картинка – значения t концевых точек кривой АВ, Картинка.


К списку Рандомный вопрос