7. Криволинейные координаты в пространстве и замена переменных в тройном интеграле.

Рассмотрим 2 пространства, в одной из которых введён прямоуг. сист. координат. xoyz, а в другом-прямоугольную же систему Картинка


Пусть некоторая обл. Картинка в пространстве Картинка посредством системы


Картинка


Картинка


переводится в обл. V пространства xoyz


Тогда точка Картинка перейдёт в точку A ( Картинка)

Таким образом, точке A ставится в соответствие две упорядоченные тройки чисел:

Картинка) – прямоуг. координаты.

Картинка – криволин. координаты.


Как известно, для того, чтобы области Картинка и V находились бы во взаимно-однозначном соответствии посредством сист. ( Картинка), необходимо и достаточно, чтобы система ( Картинка) была pазрешима относительно Картинка, а это обеспечивается тем, что Якобиан преобразований


Картинка


был отличен от нуля.


Точно так же как это было сделано на плоскости для вычисления элементарной площади в криволинейных координатах (используя векторное произведение), в нашем случае для выражения элементарного объёма через криволинейные координаты, используя смешанное произведение трёх векторов, будем иметь:


Картинка= Картинка


И тогда формула замены в тройном интеграле будет выглядить следующим образом:

Картинка

Чаще всего в пространстве образуются в качестве кливолинейных координат так называемые цилиндрические и сферические координаты.


К списку Рандомный вопрос