6. Тройной интеграл. Определение, свойства и вычисления.

Пусть в пространственной замкнутой области V определена функция Картинка. Произведем дробление области V на N участков Картинка выберем точки ( Картинка и составим сумму:


Картинка
Где Картинка – объем участка Картинка


Обозначим через Картинкадиаметр участка Картинка, а через Картинка обозначим наибольший из диаметров и назовем Картинка рангом дробления.


Определение: если независимо от способа дробления области V на N частей Картинка и независимо от выбора точки ( Картинка) существует и конечен предел интегрирования суммы Картинка при Картинка


Картинка
то этот предел называется тройным интегралом от функции Картинкапо области V:


Картинка

Свойства тройного интеграла в точности повторяют свойства двойного интеграла (см. первый вопрос)


Вычисление тройного интеграла

Точно так же как это было сделано для двойного интеграла можно получить формулу для вычисления тройного интеграла, но область V, когда V - прямой параллелепипед.


Картинка Картинкаситема


Картинка

Картинка

Картинка


Вычисление тройного интеграла в случае области V общего вида

Картинка


Если область V ограничена поверхностями Картинка и Картинка и цилиндрической поверхностью, с образующими параллельно Картинка, то:

Картинка


Применение тройного интеграла.

Ясно,что:

1) Объем тела через тройной интеграл равен:


Картинка


2) Масса тела


Если Картинка – плотность вещества, распределить в объеме V, то легко получить формулу для массы тела:


Картинка


К списку Рандомный вопрос