4. Криволинейные координаты и замена переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим две плоскости, в одной из которых введём прямоугольную систему координат. Во второй также введём прямоугольную систему координат ( Картинка).


Пусть область Картинка в системе Картинка посредством системы ( Картинка)


Картинка

Картинка


переводится в область D


Картинка


Как пусть например, точка Картинка переходит в точку A ( Картинка ):


Картинка

Картинка


Таким образом, в точке А в области D ставятся в соответствии 2 упорядоченные пары чисел:

( Картинка) – прямоугольные координаты точки A;

( Картинка) – криволинейные координаты.


Найдём вид координатных линий Картинка и Картинка, выходящих из точки А
(при этом коорд. линией называется линия, вдоль которой меняется только одна из координат).


Итак, закрепив Картинка и разрешив Картинка меняться, получим параметрическое уравнение координатн. линии Картинка, исходящ из точки А:


Картинка

Картинка

Если закрепить Картинка, а Картинка разрешить меняться, то получим параметрическое уравнение координатной линии Картинка:

Картинка

Картинка


Каждая точка области Картинка посредст. системы ( Картинка) переходит в некоторую точку области D. Возникает вопрос: будет ли кажда точка обл. D переходить в точку обл. Картинка.


Да, будет, если система ( Картинка) разрешима относительно Картинка
Говорят, что области
Картинка и D находятся во взаимооднозначном соответствии посредством сисемы ( Картинка), если система( Картинка) разрешима относительно Картинка

Известно, что, для того чтобы области Картинка находились бы во взаимно-однозначном соответствии посредством системы ( Картинка) необходимо и достаточно, чтобы якобиан преобразований был бы отличен от нуля.


Картинка


К списку Рандомный вопрос