3. Вычисление двойного интеграла в случае области общего вида.

Если в области D, ограниченной кривыми


Картинка

Картинка


задана интегральная функция Картинка и пусть, кроме того, для Картинка существует интеграл:


Картинка


Имеет место быть равенство:


Картинка

Картинка


Доказательство:

Поместим область D в прямоугольник R и в R определим функцию


Картинка Картинка Картинка Картинка система


Картинка


Если взять некоторую точку А в области D, то этой точки а области Картинка соответствует некоторой точки Картинка.


Картинка Картинка

Картинка Картинка


Мы получим, что в точке А в области D соответствует две пары чисел:

Картинка – декартовые прямоугольные координаты;

Картинка – криволинейные координаты.


Картинка

Картинка(*) Картинкасистема


Если система (*) может быть разделена относительно переменных Картинка, т.е. существует решение:


Картинка Картинкасистема

Картинка (**)


то говорят, что области Картинка и D находятся во взаимно-однозначным соответствии по средствам системы (*).


Известно, что для того,чтобы система (*) была разрешена относительно Картинка и Картинка, необходимо и достаточно, чтобы якобиан преобразования системы (*) не обратился бы в ноль ни в одной точке области Картинка


Картинка


В дальнейшем будем считать,что якобиан преобразования (*) Картинка


Если для точки Картинка закрепить координаты Картинка, а кооодинатам Картинка разрешить меняться, то в плоскости Картинка получаем координатную линию Картинка, выходящую через точку А


Картинка

Картинка Картинкасистема



Параметрическое задание координат линии Картинка

Если закрепить координаты Картинка, а координатам Картинка разрешить меняться, то


Картинка

Картинка Картинкасистема


К списку Рандомный вопрос