23. Ротор векторного поля. Потенциальное поле. Необходимое и достаточное условия потенциала.

Ротор векторного поля

Картинка называется вектор:


Картинка


Всякое векторное поле Картинка порождает поле ротора Картинка

Имея понятия ротора формулу Стокса можно переписать в таком виде:


Картинка


Картинка, Картинка – направленные отрезки кривой, направленный отрезок поверхности соответственно


Картинка


Картинка


Легко переписать формулу Остроградского- Гаусса:


Картинка


Пусть дано Картинка, мы будем говорить,что векторное поле Картинка потенциально, если существует функция Картинка и сама функция Картинка называется потенциалом поля. Иначе


Картинка

Картинка

Картинка


Теорема

Для того,чтобы векторное поле Картинка было потенциальным необходимо и достаточно,чтобы оно было безвихревым ( Картинка)


Доказательство

1) Необходимость

Дано: Картинка


Решение:

Картинка

Картинка

Картинка

Картинка (из последнего равенства)


2) Достаточность:

Дано: Картинка


Решение:


Картинка

Картинка


Значит, выполняются равенства:


Картинка

Картинка

Картинка


Последнее равенство означает,что поле потенциально.


К списку Рандомный вопрос