21. Векторное поле. Дивергенция. Определение и вычисление.

Векторное поле

Векторное поле — это отображение, которое каждой точке рассматриваемого пространства ставит в соответствие вектор с началом в этой точке. Например, вектор скорости ветра в данный момент времени изменяется от точки к точке и может быть описан векторным полем.


Картинка


Картинка

Векторной линией называется кривая, направление касательной в каждой точке к которой совпадает с направлением поля


Картинка

Если в векторном поле взять некоторую замкнутую кривую и через каждую точку этой кривой провести векторную линию, то получится поверхность называемая векторной трубкой.


Картинка


Дивергенция

Возьмем в векторном поле объем Картинкаи пусть этот объем ограничен поверхностью Картинка

Картинка


Вычисление

Картинка


Применяя формулу Остроградского-Гаусса будем иметь:


Картинка


Применяя теорему о среднем мы будем иметь:


Картинка


Картинка– внутренняя точка объема


Картинка Картинка

Всякое векторное поле рождает скалярное поле, а именно поле дивергенции.

Векторное поле Картинка называется соленоидальным, если в каждой точке этого поля Картинка.


К списку Рандомный вопрос