20. Скалярное поле. Производная по направлению. Определение и вычисление.

Скалярное поле

Пусть дано некоторое скалярное поле Картинка. Возьмем в этом поле точку Картинка и найдем значение поля в этой точке:


Картинка


Множество точек поля, в котором значения поля одно и то же называется уровенной поверхностью или поверхностью одного уровня.

Ясно,что для значения поля = Картинка, уравнение уровенной поверхности имеет вид: Картинка

Если Картинка, то уровенные поверхности не имеют общих точек, т.е. они параллельны.


Производная по направлению

Пусть задано скалярное поле Картинка. Выберем в этом поле произвольную точку Картинка и через Картинка проведем некоторую прямую. А как известно прямая в пространстве определяется точкой и направляющим вектором Картинка


Картинка


Рассмотрим точку Картинка


Тогда производная по направлению:


Картинка


Физический смысл: скорость изменения поля в данном направлении.


Вычисление.

Рассмотрим точку Картинка в поле; обозначим через t расстояние от M до Картинка; введем единичный вектор направления Картинка


Ясно,что координаты точки М:


Картинка

Картинка Картинкасистема

Картинка


Тогда производная по направлению:

Картинка


Ясно,что Картинка можно рассмотреть,как функцию одной переменной t, которую обозначим F(t). Тогда Картинкапринимает вид:


Картинка

Картинка Картинка Картинка


Картинка

Картинка

Картинка

Картинка


Картинка угол между единичным вектором и градиентом


Ясно,что то направление, вдоль которого скорость изменения поля больше является направлением градиента.

Картинка


К списку Рандомный вопрос