2. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области.

Если f (x;y) интегрируется в прямоугольнике R:


Картинка

Картинка


и для Картинка существует определенный интеграл


Картинка


тогда существует повторный интеграл:

Картинка


и имеет место равенство


Картинка

Если, кроме того, для Картинка существует Картинка, то существует повторный интеграл: Картинка и имеет место быть равенство:

Картинка


Доказательство: для простоты доказательства будем считать,что f(x;y) непрерывна:


Картинка


Произвольное дробление [a;b] точки xk на n частей, а промежуток [c;d] точки y на m частей.


Таким образом прямоугольник разобьется на Картинка прямоугольников Картинка


Картинка Картинкасистема


В промежутке Картинка выберем точку Картинка.
Обозначаем через Картинка наименьшее значение функции, и через Картинка – наибольшее.


Картинка


По теореме о какойто переменной последний предел существует:


Картинка


Предел интегируемой суммы равен
Картинка


Подставляя вместо Картинка её выражение окончательно получим:

Картинка

Что и требовалось доказать


К списку Рандомный вопрос