19. Формула Стокса. Независимость криволинейного интеграла от пути в пространстве.

Пусть на двухсторонней поверхности S, ограниченной кривой Картинка и задаваемой уравнением Картинка, определены и непрерывны вместе с частной производной функции Картинка и Картинка, тогда имеет место формула Стокса:


Картинка

Картинка

Картинка Картинка


Доказательство: проводим для одного слагаемого

Картинка


Перейдем от криволинейного интеграла по Картинкак криволинейному интегралу по Картинка

Картинка

к криволинейному интегралу по Картинкаприменим формулу Грина:

Картинка

т.к функция Картинка зависит от переменной Картинка непосредственно и от Картинка, то производная от P по Картинка берется как производная от сложной функции.


Имея в виду формулу вычисления интеграла второго рода, перейдем от двойного интеграла по области D к поверхностному интегралу по Картинка


Картинка


мы получим:


Картинка


Аналогичным образом получим:

Картинка

Картинка


Складывая равенства будем иметь:

Картинка Картинка


Что и требовалось доказать.


После этого мы можем сформулировать условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интеграла в пространстве:

поверхностный интеграл по АВ: Картинка


не зависит от пути, если выполняется одно из условий:


1) Картинкапо любому замкнутому контуру = 0;


Картинка


2) Существует Картинка

3) Выполнены три равенства:


Картинка

Картинка Картинкаcистема

Картинка


К списку Рандомный вопрос