16. Связь между интегралами I-го и II-го рода.

Пусть на двухсторонней поверхности S с выбранной стороной Картинкаопределена интегральная векторная функция Картинка, тогда имеет место равенство:


Картинка

Картинка – углы между выбранной нормалью с осями ох, оу, oz соответственно


Доказательство: проведем для одного из слагаемых


Картинка

Прежде всего будем считать,что S задана уравнением Картинка и обазначим через Картинка ту сторону поверхности S, нормаль а которой составит с осью z острый угол.


Картинка


Составим интегральную сумму Картинка для поверхностного интеграла первого рода


Картинка


В силу малости дробления будем считать,что участки Картинка – плоские. А тогда,как известно, площадь проекции участка Картинка на плоскость xoy будет равна


Картинка и так как выбранная нормаль составляет с осью оz острый угол, то плоскости проекций будут выбраны со знаком “+”

Картинка – интегральная сумма по выбранной стороне Картинка


Картинка
Что и требовалось доказать.


К списку Рандомный вопрос