15. Сторона поверхности. Поверхностный интеграл II-рода. Определение и свойства.

Рассмотрим интегральную гладкую поверхность S. Возьмем на этой поверхности произвольную точку и выберем в этой точке одно из двух возможных направлений нормали. С выбранной нормалью начнем двигаться по поверхности S, перемещать от точки к точке M и меняя непрерывно выбранное направление нормали. Если мы вернемся в точку M , двигаясь по замкнутому контуру, лежащему на поверхности S, то при возвращении мы можем наблюдать одно из двух: мы вернемся с тем же направлением нормали или с противоположным.


Определение: мы будем говорить,что поверхность S двухсторонняя, если выйдя из точки M с выбранным направлением нормали и двигаясь по любому замкнутому контуру, лежащем на поверхности S, мы возвращаемся с тем же направлением нормали.В противном случае мы будем говорить, что поверхность S - односторонняя.Иными словами, S называется односторонней, если существует контур, двигаясь по которому мы возвращаемся в точку с противоположным направлением нормали.

Примером односторонней поверхности может служить лист Мебиуса.


Всякая двухсторонняя поверхность называется ориентируемой, т.е. выбрав в произвольной точке этой поверхности одно из направлений нормали мы тем самым выбрали одну из двух сторон поверхности.


Пусть на двухсторонней поверхности S определена векторная функция Картинка. Выберем одну из сторон поверхности S и обозначим Картинка. Произведем дробление поверхности S на N частей Картинка произвольным образом и на каждом из участков Картинка выберем точки Картинка и составим интегральную сумму:


Картинка, где


Картинка, Картинка, Картинка – площади проекций участка Картинка на плоскости Картинка соответственно. Взятые со знаком “+”, если выбранная нормаль составляет что-то с осями x,y,z соответственно,и со знаком “-” в противоположном случае.


Определение: Если независимо от способа дробления поверхности S на N частей Картинка и независимо от способа выбора точек Картинка существует и конечен предел суммы Картинка при Картинка


Картинка


то такой предел называется поверхностным интегралом второго рода по выбранной стороне и обозначают:


Картинка


Отметим одно важное свойство поверхностных интегралов второго рода:

Из самого определения поверхностного интеграла второго рода следует, что поверхностный интеграл по Картинка Картинка равен


Картинка


К списку Рандомный вопрос