14. Поверхностный интеграл I-го рода. Определение, свойства и вычисление.

Если вдоль замкнутой поверхности S определена функция f(x,y,z).Произведем дробление поверхности S на N частей Картинка произвольным образом и в каждом из участков произвольным образом выберем точки Картинка


Картинка


Картинка, где Картинка – площадь ячейки


Определение: если независимо от способа от способа дробления Картинка и независимо от способа выбора точек Картинка существует и конечен предел интегрирования суммы при ранге дробления Картинка 0 , то такой предел называется поверхностным интегралом первого рода:


Картинка


Картинка

Ясно,что поверхностный интеграл первого рода обладает всеми свойствами двойного интеграла (см. первый вопрос)


Вычисление

Если вдоль гладкой поверхности S, задаваемой уравнением Картинка, определяется функция Картинка


Картинка

D – проекция на поверхность Картинка


Действительно, составим интегральную сумму для поверхностного интеграла первого рода:

Картинка

Картинка

Картинка

К интегралу применим теорему о среднем:


Картинка

Картинка


Картинка не является интегральной, т.к Картинка

т.к точками Картинка мы распоряжаемся сами, Картинкадается теоремой о среднем, то мы можем считать, что Картинка


Картинка


Картинка


К списку Рандомный вопрос