13. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Если в односвязной области D заданы и направлены вместе со своими частными производными функции Картинка и Картинка, тогда следующие четыре утверждения равносильны:


1. Картинка, где r – любой замкнутый контур, целиком лежащий в области D

2. Картинка – не зависит от пути интегрирования


3. Существует функция Картинка

4. В области D выполняется равенство: Картинка


Доказательство проведем следующим образом:

1) => 2) => 3) => 4)


Если выполнено 1, то есть криволинейный интеграл по Картинка, где Картинкалюбой замкнутый контур.


Возьмем в обл. D две произвольных точки A и B и соединим их непересекающимися кривыми Картинка и Картинка


Картинка


Картинка


Картинка


Картинка

Перенеся последнее слагаемое вправо, будем иметь требуемое.


Можно показать, что интеграл по AB не зависит от пути интегрирования, даже если эти пути пересекаются.


Т.к. Картинка не зависит от пути интегрирования, то ясно, что он зависит от концевых точек A и B. Если A закрепить, а B разрешить менять свое положение, то интеграл будет зависеть от координаты точки B. Если координату точки B обозначить через (x, y), то будем иметь:


Картинка

Картинка


Придадим координате x приращение Δx, а y закрепим.


Картинка


Покажем, что Картинка


Картинка


Подставляя выражение функции u будем иметь:


Картинка


Представляя первый интеграл как сумму, получим:


Картинка


Так как Картинка непр., то применяя теорему о среднем, получим:


Картинка


Картинка


Можно показать, что Картинка

Покажем, что если выполнено 3), то Картинка


Продифференцируем 1-е равенство по y, а второе по x:


Картинка


Картинка


Известно, что если 2-е смеш. производные непр., то они не зависят от порядка дифференцирования:


Картинка


4) => 1)


Картинка


К области D*, ограниченной контуром Картинка, применяем формулу Грина:


Картинка


К списку Рандомный вопрос