10. Криволинейный интеграл II-го рода. Определение, свойства и вычисление.

Если вдоль плоской кривой Картинка с концевыми точками А и В. Определена векторная функция Картинка


Картинка


Произведем дробление кривой АВ на N частей произвольным образом, но так чтобы Картинка , Картинка и точка Картинка перемещалась бы от точки А к точке В по мере возрастания номера. В каждый из дуг Картинка произвольным образом выберем точки ( Картинка дуге Картинка и составим интегральную сумму Картинка:


Картинка
где Картинка и Картинка – проецируе вектора Картинка на оси Картинка и Картинка соответственно.


Определение: если независимо от способа дробления кривой АВ на N частей точек Картинка и не зависимо от способа выбора точек Картинка дуге Картинка существует и конечен предел интегрирования суммы Картинка при Картинка


Картинка


Специальные свойства криволинейного интеграла второго рода

1) Из определения следует, что если кривая АВ- отрезок прямой параллельный напр. оси ох, то

Картинка


2) Из определения следует, что

Картинка


При рассмотрении криволинейного интеграла второго рода приходится брать их по замкнутым контурам Картинка. В силу свойства 2 при рассмотрении их на замкнутом контуре надо различать направление интегрирования, одно из них положительное, другое – противоположное. Если мы хотим указать,что интеграл берется в положительном направлении, то часто мы обозначаем Картинка

Однако в дальнейшем, если интеграл берется в положительном направлении, то будем обозначать его Картинка


При этом мы будем говорить, что обход контура Картинка происходит в положительном направлении, если при этом обходе область, ограничивается контуром Картинка находится все время слева от наблюдателя

Картинка


Вычисление

Пусть вдоль гладкой кривой АВ задана интегрируемая векторная функция Картинка и кривая АВ задана: Картинка, тогда имеет место равенство:

Картинка


Картинка – искомые координаты точек А и В соответственно

Доказательство: проведем для второго слагаемого:

Картинка

Картинка

Картинка
Применим теорему Лангранжа


Картинка Картинка

т.к Картинка то Картинка примет вид:


Картинка


Ясно, что сумма, стоящая справа не является интегральной т.к. Картинка. Причем Картинка берется нами произвольно, а Картинка дается теоремой. А потому мы можем считать,что Картинка и тогда Картинка будет иметь вид:


Картинка, ( Картинка)


Переходя к пределу при Картинка получим требуемое:


Картинка


Если кривая АВ задана параметрически

Картинка

Картинка Картинкасистема

то криволинейный интеграл по АВ


Картинка

Картинка и Картинка – знач. t для А и В соответственно


К списку Рандомный вопрос