1. Двойной интеграл. Определение и свойства.

В некоторой замкнутой области D определена функция f(x;y). Произведем дробление области D на N участков Di произвольным образом и в каждом из участков Di выберем точку (xi, yi) ∈ Di. Обозначим через di диаметр области Di (при этом диаметром области Di называется наибольшее расстояние между двумя точками принадлежащими этой области)


Обозначается через λ наибольший из диаметров di. λ называют рангом дробления.

Картинка
Где Картинка – площадь участка Di.


σ – интегральная сумма функции f(x;y) в области D


Картинка


Определение: если независимо от способа дробления области D на N частей Di и независимо от выбора точек (xi, yi) существует и конечен предел интегральной суммы σ при ранге дробления λ → 0


Картинка


то его называют двойным интегралом от функции f(x;y) в области D.


Свойства двойного интеграла.

1) Если f(x;y) непрерывна в области D, то она там интегрируема.

2) Если f(x;y) интегрируема в области D, то для любой с-сonst, функция сf(x;y) также интегрируема в области


Имеет место:
Картинка


Доказательство: составим интегральную сумму σ:


Картинка


Переходя к пределу будем иметь требуемое (при ранге дробления λ → 0).


3) Если функции f(x;y) и g(x;y) интегрируются в области D, то функция f(x;y)+g(x;y) также интегрируема в области D


Картинка


Доказательство:


Картинка


Переходя к пределу при λ → 0, получим требуемое, т.е.:


Картинка


Обратное неверно!


4) Пусть функция f(x;y) интегрируема в области D и пусть область D разбита на две подобласти D1 и D2, в пересечении которых пусто:


Картинка


Картинка


К списку Рандомный вопрос