Пояснить, как вычислить площадь фигуры в декартовых координатах, записав ее через определенный интеграл.

Пусть имеем две функции, и надо найти площадь фигуры ограниченной ими:

Картинка

Картинка


Преобразуем эти функции к следующему виду:

Картинка
Картинка


Нанесём их на систему координат и обозначим нашу фигуру:


Картинка


Видим, что часть нашей фигуры находится над осью абсцисс, а часть Картинка – под ней. Для того, чтобы найти площадь той части, что над осью, нужно найти интеграл от первой функции в границах от 0 до 2. Чтобы найти площадь части фигуры, которая расположена под осью абсцисс, надо вычислить интеграл от второй функции (не забудьте про знак минус) в границах от 0 до 3. Но это будет площадь треугольника OAC, Картинка из этой площади нужно вычесть вычесть площадь фигуры ABC (это будет интеграл от первой функции в границах от 2 до 3). Поэтому, выходя из этих данных, мы это всё можем записать одним интегралом:


Картинка


Решив этот интеграл, мы и найдём площадь нужной нам фигуры.


Картинка


К списку Рандомный вопрос