Сформулировать различные признаки сходимости числового ряда: необходимый, Даламбера, Коши (два признака) и Лейбница. Пояснить, в каких случаях можно применять эти признаки.

Признаки Коши:

Радикальный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд


Картинка


Если существует предел: Картинка, то:

а) При D<1 ряд сходится. В частности, ряд сходится при D=0.

б) При D>1 ряд расходится. В частности, ряд расходится при D=Картинка.

в) При D=1 признак не дает ответа. Нужно использовать другой признак.


Радикальный признак Коши обычно использует в тех случаях, когда общий член ряда полностью находится в степени, зависящей от «эн». Либо когда корень Картинка «хорошо» извлекается из общего члена ряда.


Интегральный признак Коши: Рассмотрим положительный числовой ряд Картинка Данный ряд сходится или расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.


Признак д’Аламбера:

Если существует предел

Картинка

и Картинка, то рассматриваемый ряд абсолютно сходится, а если Картинка — расходится.


Замечание. Если Картинка, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.


Теорема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов:

Знакочередующийся ряд

Картинка

сходится, если выполняются оба условия:


1. Картинка

2. Картинка


К списку Рандомный вопрос