6. Понятие комплексной амплитуды.

Комплексная амплитуда — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.


Пусть имеется гармонический сигнал:

a(t) = Acos(ωt + φ)


Над сигналами, записанными в подобной форме, тяжело производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала, умножение сигнала на константу. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а угол – фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал равен действительной части данного комплексного числа:

Картинка


здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:

Картинка


Алгебраическая форма.

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем:


Картинка ,где Картинка


Тригонометрическая форма.

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала cos(ωt).


Операции над комплексной амплитудой.

К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:


  1. умножение комплексной амплитуды на константу;
  2. Сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте);
  3. Вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте);
  4. Интегрирование комплексной амплитуды по времени;
  5. Дифференцирование комплексной амплитуды по времени приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.

Ограничения.

Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:

  1. Принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
  2. Меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).

Применение.

Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:

  1. Характеризует и амплитуду, и фазу;
  2. Не содержит зависимости от времени;
  3. Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе.

Использование комплексной амплитуды позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).


К списку Рандомный вопрос